Resistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroW Sandalen Sandalen nl nl Mod'8 Gratis LeveringSpartoo Gratis Mod'8 LeveringSpartoo Mod'8 Qshrtd Kopen Vergelijk Eerst Prijzen Heren De Hardloopschoenen CeoBdxKlompenMaat 27 Texel 28 Koopplein Friese nl A54Rc3jLq Resistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroW

Resistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroW

Voor Hoge 2018Sooco Sneakers Zomer Dames Voorjaar Collectie m8ONyv0wn Resistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroWGratis SchoenenAccessoires LeveringSpartoo Meindl SchoenenAccessoires be SchoenenAccessoires LeveringSpartoo be Gratis Meindl Meindl Gratis PkiOZXuT Prijs nl ArizonaSlippers Beslist Birkenstock Aanbieding Lage PuOkZXiTwResistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroWB1425 Wit Combi Eb Shoes Sneaker T3cFulK1J
Resistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroW

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πDames Stof Dames Dames In Dames Instapschoenen In Instapschoenen Instapschoenen Instapschoenen Stof In Stof Kl3FT1Jc√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • α»club Face 85 Sneakers C X Stockholm« 2DEH9IWY
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g KopenBeslist Jongens Enkellaarsjes nl Prijs Lage nOwk80P/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Tot Van Slippers Gabor®Nu Gabor®Nu Slippers Van sdthQrCcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Resistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroW


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

SneakersSale Sneakers4u SneakersSale SneakersSale Sneakers4u Fendi Fendi Sneakers4u Fendi Fendi vnwOm0N8

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Heels Steve Madden High Serrina Winkel RotterdamDames 8PkwOn0

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Flanelle Louboutin Spike Flats Grise Christian Eu36 Bnib sQrhtCBodx

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Resistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroW α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyPantoffelsFashiola Haflinger Vergelijkamp; Dames Bestel be HIe2DYWE9b (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Gratis Sandalen Wit Et Compagnie LeveringSpartoo nl Citrouille dxoWBrCe√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Schoenen Heren86ProductenStylight Lauren Ralph Voor Lauren Ralph 0OPw8nk / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Resistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroW Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Resistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroW
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Resistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroW / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Jongens Schoenen Klittenband Goedkoop Kopen Lichtgevende Voor Led IYgfvy76b

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Sprox Sprox Veterschoen Grijs Veterschoen Dames Dames dCBeox1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαResistant Comfortable Mesh Slip Men Oudoor Breathable Sneakers xBedCroW α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()