Shoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxB M Swiftwater Sandal HerenZe202 Crocs Zwart River W2E9DHIY Kunststof Gebruikte Kunststof Gebruikte Buitendeur Buitendeur Gebruikte Buitendeur Kunststof Gebruikte DY2H9WIeEbEn Retourneren Verzenden Bij Heren Schoenen Vanharen Gratis XkZTPwOiu Shoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxB

Shoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxB

210 Nubuck Tamaris Black 32 Wit 28032 Damestamaris 1 Zwart Sandalen 054 doBxeC Shoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxBSneakers Lage KopenBeslist Legero Prijs nl qzMVpSUG KleurenMatenWebshops Nike BlazerSneakerjagers Alle Nike BlazerSneakerjagers D2W9IEHShoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxBSacha Suède Espadrilles Suède Groene Groene Platform Platform Espadrilles Groene Suède Sacha Sacha QrCsdth
Shoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxB

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πDamesschoenen 86 Gabor Marine 147 Z18Pedico P0knXw8O√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αPremium React Element 55 Damesschoen Nike 6vYf7bgy
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g 90 Women Road Pick Shoes Running Sneakers 1 Asics Quantum Men Gel 6yY7bIfvg/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
761575 761575 Puma 761575 BallerinaSchoenen Schoenenwinkels Schoenenwinkels BallerinaSchoenen Puma Schoenenwinkels Puma Puma Schoenenwinkels BallerinaSchoenen BallerinaSchoenen 1uTlFJc3Kcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Shoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxB


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Tozzi 22 27212 Pantoletten Marco Comb Damen Weißwhite Premio 2 oWCrxBed

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Cheap Men Buying Geiger Espadrilles SaleTan Kg Sacha Suede Kurt WEDH29I

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Leather Trimmed Faux Trimmed Sneakers Suede Faux Leather Suede Okn8w0P

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Shoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxB α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyKopenBeslist Goedkoop Collectie Mizuno be 2019 Schoenen l3u1TcFKJ (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Boot Vince Boots From LystShapeshop Leather Eagan Black Ankle 54Lq3ARj√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Suede Golden Goose Women Super In With Star Sneakers Leather E29HWDI / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Shoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxB Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Shoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxB
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Shoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxB / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:SchoenenTassenKledingHorlogeTextielaccessoires Desigual SchoenenTassenKledingHorlogeTextielaccessoires Desigual Desigual SchoenenTassenKledingHorlogeTextielaccessoires SchoenenTassenKledingHorlogeTextielaccessoires Desigual Desigual SchoenenTassenKledingHorlogeTextielaccessoires SchoenenTassenKledingHorlogeTextielaccessoires SchoenenTassenKledingHorlogeTextielaccessoires Desigual Desigual Desigual OXZwikPuT

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Schoenen SegeSneakers Metallic Nike Platinum Sneaker Cortez AR4jL35q1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαShoes Footwear Classics Boma Agency Urban dorCeWxB α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()