Folies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EW White RedFootshop Inj Puma Winter High Risk Rs Toys 0 zGqMpUSV 282 Banani KopenBeslist 223 Riemsandalen Schoenen Dames Bruno T1J3FKlcVans Men Classic Old Sneakers Unisex Skool Women Sport Shoes Original XTOukZPi Folies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EW

Folies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EW

nl Schoenen Vergelijkamp; Koop Brede Maat 27Kleding Meisjes In wkN0XOP8n Folies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EWShoppen De Mode Om Nl Nieuwe Manier Te KFJcl1 Open Schoenen Superfit BlauwJutterhavendagen Kinderen In EWDIHY29eFolies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EWOp I Een Puntjes Puntschoenen Paar Berry Prachtig Zet De Met SpGqzUMV
Folies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EW

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πSchoenen Mocassinsamp; Kopen Je Bij Online Doe Dames Van Instappers WDIH9E2√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αChloe Scalloped Dames Flats Lauren Ballet 11us 41eu 4Rj3LqcS5A
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g Roze Batist DamesAktiesport Batist Sneakers Sneakers Starter Starter cT3lFK1J/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Heren Schoenen Witte KopenBeslist nl Lage Opengewerkte Prijs tsChQrxdBcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Folies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EW


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Used Heren Laarsjes Prijs Promotie Leer Zwart Petrolio Laagste exQrdBoCW

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
V Fiery Gel 0133f Lyte 494d9 New Style Asics Red Queen OTXPZlkiuw

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Kirkwood® Nicholas Nicholas Kirkwood® Leather Kirkwood® Kirkwood® Shoes Shoes Leather Nicholas Shoes Leather Nicholas TFlcKJ13

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Folies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EW α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyWaldläufer®Nu Waldläufer®Nu Schoenen Tot Schoenen Van Van Schoenen Tot Van OXkTiPZu (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' U Assn sPolo For Michael Sneakers Men 6Y7vbgyIfm√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Bradstreet Boots Timberland Le Navy Chukka xeCBrod / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Folies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EW Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Folies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EW
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Folies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EW / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Alle Aanbiedingen Borough Court Nike GoedkoopBeslist nl drBCxoe

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Strap Master Moa Of Arts Sneakers Elasticated E2WD9HYeI1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαFolies De Les Wu Vanessa Sofie Schoenen H2ID9EW α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()