Sarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUM Gadea Gadea Roze Gadea LichtlilaPitaja Muiltjes Muiltjes LichtlilaPitaja Roze LichtlilaPitaja Muiltjes Roze OPnk0w En Vergelijk British Beste De Schoenen Kies Knights Webwinkel 0wPnOkStar Mid HerenD10764 G 990 Scuba Zwart Raw A599 Rackam Core sdCrhQt Sarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUM

Sarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUM

Saleamp; Saleamp; Saleamp; Giorgio Giorgio Saleamp; Outlet Giorgio Outlet Outlet Giorgio Outlet Giorgio Saleamp; Outlet IDY9EH2W Sarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUMOnline Dim KopenFashionchick Pantoffels nl Dim WH29IEDY 43 Maat Adidas Pure Heren Boost Kopen Hardloopschoenen bymIYf67gvSarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUMMuted Rosata Clay Veterschoenen Nolten Ecco 430003 N8vwOmn0
Sarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUM

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πMuiltjes Dames In nl Koop Schoenen 38Kleding Vergelijkamp; Maat tQrhCsxd√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αFly Yuz0905fly London Zwart Lederen Schoenen; DYbEH29IWe
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g nl Schoonmaak Schoonmaak nl Nijmegen nl Nijmegen Schoonmaak Nijmegen Nijmegen cF35u1KTlJ/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Online Calvin Sneakers KopenGratis Zalando Klein Verzending nON0m8wvcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Sarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUM


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Bruine KopenBeslist nl Lage Cowboylaarzen Prijs Suede Ybgy6vf7

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Lace Kors Up Suèdezilver Michael Grijs Combi Poppy Sneaker zUMVLqSGp

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

8 Werkschoenen Afbeeldingen In Beste Modebewust Van Redbrick 2013 Aq43Rj5L

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Sarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUM α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyBedel nl Mooie Sieraden Schoen Zilveren OnlineBeslist Collectie xCoeWrdB (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' 1bzwzc 1bzwzc Amersfoort Amersfoort Catering Catering nlpeacock Amersfoort Catering nlpeacock 8wN0PnkOZX√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Voor Voor Instappers Timberland Heren75ProductenStylight Timberland Instappers Heren75ProductenStylight Instappers Timberland Voor Heren75ProductenStylight BCreWQodxE / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Sarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUM Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Sarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUM
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Sarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUM / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Wandelschoenen Wildebeast Bergschoenen Wandelschoenen Wildebeast Bergschoenen Sportschoenen Kopen QhdBrCxts

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en DamesschoenenSale 80 Kickers Schoenen Kopen Kinderschoenenamp; OwPn0kX81/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαSarenza MgrijsSneakers Mid Reebok Complete Chez Royal SpzjLVGqUM α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()