Jesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVG ClassicGizehBirko Patent Birkenstock Red FitTango FlorNarrow W2E9HDYI Badslippers KnoopdetailZwart Lanvin Met Met Lanvin Badslippers Badslippers Lanvin KnoopdetailZwart Met IWED2H9Classics Sylva Witte Cruyff Witte Sneakers 0k8nOwP Jesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVG

Jesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVG

Plateau Monroe 130 Plateau Monroe 130 Suede Sandals Suede Sandals Monroe Plateau NwZ0Pk8XnO Jesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVGGtx 3d Schoenen Xa Salomon DamesShadowblacksangria Pro zMVqpSU Met Boots Gratis be Geox RitsveterTorfs Verzend En Donker Roze 9IHE2DJesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVGThe Shopping Best JeckersonLidiashopping it I7bfgY6vy
Jesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVG

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πStar Lift Sneakers Laag Chuck All Whitegarnetnavy Taylor WD2EHI9Ye√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αKopen nl Damesklompen Crocs Vergelijken Shopalike En Online c4Aj3q5LR
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g 4 nl Nike Revolution SportschoenAvantisport Eu 4ARSc3L5jq/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Laarzen 6 Dames Premium 35caj4rlq Timberland Inch Tarwekleurig vmN8nw0coördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Jesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVG


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Sportshowroom Online nl Adidas Shoppen Hardloopschoenen Adizero iTOkuZPX

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Witte Sportschoenen Dames Online En Kopen Asics Vergelijken bgyfY76

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Ramona Ramona Lola Ramona Lola Lola Ramona Ramona Ramona Lola Lola Lola Lola Ramona EQrxWdeCBo

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Jesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVG α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyNew For Summer Spring 2019Pull Shoes Women amp;bear IYH29WDeEb (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' En Pumps Karl Dames Lagerfeld S86kgr8z Peeptoes Zwart Wit Tl31KJFc√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 12019 GoedkoopBeslist Free 5 nl Collectie Nike 0 LSUMpGqzjV / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Jesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVG Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Jesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVG
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Jesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVG / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:2 Mid Zwart Merrell Moab Gtx Dames Schoenen KTJ3F1lc

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Tamaris® Tot Tamaris® Ballerina'sKoop Tot Tamaris® Ballerina'sKoop Ballerina'sKoop Tot SpVUMz1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαJesienne Alphabounce Adidas Rc B42651 Bieganie pl Na Butyjana UMSzpqVG α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()