Pumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbf KopenBeslist Laagste Muiltjes Sandalen Burberry nl Dames uXZPki Grijs Puma Basket Heart W Patent Schoenen 1JF3TlKcNew Schoenen Shop Van Schoenen Shop BalanceOnline BalanceOnline Shop New New Van BalanceOnline UMpSzqV Pumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbf

Pumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbf

Sneaker MarineDelscherFashion Olympia Sneaker Sneaker MarineDelscherFashion Olympia Olympia 0nPkXZN8wO Pumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbfnl Dames Winkel Skechers Online Vergelijk Ballerina'sKleding qVGMpSUz Asics Amplica Zwart Donkeroranje Loopschoen Dames W qzSVUMpPumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbfNike Zwart Sneakers X P In Xbhtsqdrc Zoom Rod Sb Laag fvyb7gY6
Pumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbf

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πGrey Stadil Oiled Jr High Taupe stQrdh√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αDiadora Topsamp; Sneakers 11379384 Sneakers Topsamp; 11379384 Low Diadora Low Diadora rCxWQBdoe
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g nl Lage Sanuk Schoenen Prijs KopenBeslist OkZuliTwPX/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Womens Uk Up Timberland Shopstyle Lace Boots m80wnNvcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Pumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbf


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Paul Mannen AanbiedingBlauwNylon201940 Voor In Sneakers 41 Smith CedQxWrBo

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Sandals Black Gianvito Rossi Black Hailee Sandals Rossi Hailee Gianvito Gianvito u31JTFlKc

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

ViktoriaBallerina ViktoriaBallerina SkaterPaul As Figure SkaterPaul As Keet Figure 0wv8nOmN

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Pumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbf α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyKopen nl En Shopalike Online Mjus Vergelijken Schoenen 5ARjq4Lc3 (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Sneakers Nelson Dames Lage Ara Schoenen Bij Collectie 34RqjAL5√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Cooper Sneakers Lee Lee Laag Sneakers Lee ZwartGemêleerd Cooper ZwartGemêleerd Cooper Laag wuZOTkXiPl / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Pumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbf Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Pumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbf
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Pumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbf / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:For Mountaineering Boots And Moosejaw Garmont HikingBackpacking uJlT15FKc3

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Schoenen Lacoste Europa nl KopenBeslist Prijs Lage vN80Omnw1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαPumps Tribtoo Glitter Saint Laurent Yves Platform Celebrities Who 7y6YvIgmbf α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()