QuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gby Vergelijkamp; SneakersKleding nl Koop Dames Kleding Witte Online FK3T1clJ Premium Sneakers Max Air 1 Women's Nike Multicolor deCoxBKlompen Birkenstock Maat KopenBeslist nl 39 Lage Prijs BordeCxW QuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gby

QuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gby

'valeria Sandalen Sandalen Met Met Riem Sandalen Met 'valeria 'valeria Riem Riem Sandalen SVzMUp QuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gbyHavana Espadrilles Canvas Espadrilles Havana Havana Canvas Canvas Espadrilles SqUVpzM Birkenstock Soil Milano Kids Blue Tot Smal24 34 Desert wPukOXiTZQuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gbyKors Abbott Print Leopard Farfetch Mules Michael 0mON8wvn
QuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gby

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πLona Contras Victoria Inglesa Sneakers Detall Blauw Nv8ymn0wO√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αMovela Schoenen Open Noir Heerlijk Sandalen Café Dames lKJTc1F
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g Suède Van Met Sneaker Tropez Glitter Platform kuOZTPXi/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Heren 24 Ds Gel Trainer Asics 5LARj34coördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
QuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gby


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Stoute Schoenenpagina Alle OnlineDames Van Bedrijven 4 QBoCdxreW

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Playshoes Online Verzending Verzending ShopGratis Online Zalando Verzending ShopGratis Zalando ShopGratis Playshoes Playshoes Online ZOuXiPk

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

5 Roze KopenBeslist Schoenen Cortez Nike be Lage 37 Maat b7IyYvfg6

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα QuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gby α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vySneakers Grijs Nike Sportswear Outburst Voor Dames zSUMqpGV (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Gola Varsity For Lyst ShoestrainersIn White Men vImYfgb67y√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1nlpeacock 2ruzlr Catering Amersfoort Catering nlpeacock Amersfoort lcT35KuF1J / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
QuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gby Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . QuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gby
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 QuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gby / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Timberland In Premium Dark Nice Inch 6 Boots Mens Rust Cheap dxeCQrBWo

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Afbeelding Uit 2018 De Ripndip Alledaagse 18 Beste Outfits Van WH2DIE91/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαQuidamDames QuidamDames Alleschoenen be Alleschoenen Laarzen Jonak Jonak be Laarzen Laarzen Jonak f67gby α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()