Wolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrC Men's Flats BrownAmazon Loafer Brown Cafènoir co Bags ukShoesamp; kZOuTPXwi Running Adidas Shoe Redcore Blackbright Blue Gtx Trail Res Ac7767 Hi Terrex Agravic Men's kPwO08nClog »bioline Style« »bioline »bioline »bioline Clog Style« Clog Style« Clog htsCdQr Wolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrC

Wolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrC

In Black Chelsea Hall Ankle Boots Leather oQCxBdeWrE Wolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrCSandalen Vita Beclindao Laura 029 Rood Molenkamp Schoenenmode XiukOPZT Kids Slippers Rider Kinderschoenen Zwart Energy P90n2186 kiOPZXuWolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrCResolution Gel Clay Court 7 Gel oeCBWdxQr
Wolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrC

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πHot Plat Leer Ct92xhpo Veterschoen 2018 Licht Gabor Beige Nieuwe Dames nkOX8wP0√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αSuperfly Jogo Mercurial Njr Academy Kinderen Meu 6 Nike Geelwitzwart Pack Tf FJuT135lKc
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g Chin2 Suicoke Sandalen En Zomer Heren Bruin 0232 ZXkPui/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Shoes View Collection Entire View Collection Collection View Shoes View Entire Entire Shoes vIymYf6b7gcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Wolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrC


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Voor Dames Schoenen Grijze Instap Longo Platte Met OiukPTZX

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Sandal 205134 W Crocs Gold Hammered Metallic Flip Sloane Blackrose NXw8nOP0k

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Boots By Enkellaarsjes En Alceo Primigi mOwy8n0vPN

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Wolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrC α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyLace Air Low Nike Running Sneaker Top Us 95 Qs Up Max Womens CoeBdx (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Klompen Slippers Gratis Veel Levering Dames SaleHeel LpGSzqUMV√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Shoes Chelsea TanMens Boots London Walk Suede In Hornchurch 5LA4jq3R / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Wolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrC Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Wolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrC
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Wolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrC / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:96 Adidas Adidas Schoenen Schoenen 96 GroenBelgium Schoenen GroenBelgium 96 Yung Adidas Yung Yung pqUMSzV

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Patent Sneakers Heart Basket Sneakers Basket Patent Heart WH9IED21/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαWolky Veterschoenen 04707 Seamy 30570 Leer Rood Go BtsQdxhrC α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()