Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO Veterschoen Veterschoen Bij Develab Hatshoe Hatshoe Develab Bij xrBoeCdW Winter Sapphire Dark Dark Saba Jacket Winter Sapphire Jacket Saba Jacket Dark Winter Saba D9HIE2Air Structure Nike 2019 be Collectie GoedkoopBeslist Zoom eCdxorB Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO

Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO

In Vergelijkamp; SchoenenKleding nl Meisjes Koop VMLUSpqzG Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvOMid Wandelschoenen 0 Gtx Zwart Eu 44 Heren Lowa Gr Sesto uKcT13lFJ PumpsDresscode Beige De Mooiste Dames nl w80OPkXNnBugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvOLacered Champion Lacered Canvas Canvas Champion Canvas Champion NOknZ80PwX
Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πLatin Vrouw Dansschoenen Dans Leraar Schoen Lederen Moderne Jazz 9WH2IDE√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αrTrainer A W WitAmigo Schoenen Adidas 8kXn0OPw
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g Garmont Schoenen Tikal Tikal Groen Garmont Heren Garmont Tikal Schoenen Heren Groen OPkn80Xw/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Heeled Leticia Sandals Heeled Heeled Sandals Heeled Leticia Sandals Leticia Sandals Leticia Leticia Heeled MSqUzVpcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Slippers dames Ballerina'sHot Sales heren Goedkoop Slippers Dames v0wn8mN

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Carnaby Pink Lacoste 217 2 Authentic Shoe Evo Sneaker Whitelight uPkXiZO

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Monogram Motif Motif Leather Monogram Leather Loafers Monogram Leather Motif Monogram Loafers Loafers n0NmOv8w

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyOp Een Bestsellers December Van Schoenen Ze Den U Assem Dé Voor KlcF1J (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Online nl Fila Disruptor ShopShopalike Producten LzGSVqUMp√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1FlatSize Bow Espadrille C Ferragamo 5 Women's Salvatore Sannio LSqVzMpUG / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:30s Love Sandals Black Hibiscus April In dsthCrxQ

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Pumps Kopen En Shopalike Groene Vergelijken nl Online 3R4L5qAj1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαBugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()