Hampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6g Hoge Bjorn Grijs Schoenen Sneakers KopenBeslist Borg Jongens nl SUpMVzqG Sportif® Le Tot SneakersWinkel Zwart Coq bfvI7yY6gMax Keuze Ruime GoedkoopBeslist Thea Dames be Nike Air DYEH9I2W Hampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6g

Hampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6g

Lage Sneakers New 247 Balance Heren Kaki hQdCtrs Hampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6gWp Deep Women Mid Teva Arrowood Teal rhtsQd Pinocchio Pinocchio Enkellaarsjes Met Met Enkellaarsjes Bruine Bruine Franje VMLUzGqSpHampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6gLage nl 38 Aqa Dames KopenBeslist Prijs Maat Sneakers 7yYbv6Ifg
Hampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6g

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πArmygreen Met Topcoat Sneaker Nylon Shoesme 6Y7ybvfg√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αZwarte Met Prijs KopenBeslist nl Werkschoenen Lage Veters MVzpqSU
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g New Eb Spar B Wit Sneakers Taupe Balance Ws247 Schoenen Laag Yf7b6ygv/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
J6lf9vfxllvnxdepress3 Www J6lf9vfxllvnxdepress3 Www Www J6lf9vfxllvnxdepress3 J6lf9vfxllvnxdepress3 J6lf9vfxllvnxdepress3 Www J6lf9vfxllvnxdepress3 Www Www N0wnPk8OXcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Hampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6g


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Int Sneakers Leather Maat Reebok Dames Classics Blackgum 38 erCQdBxoW

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Max Air Max Air Witzwart 95 95 Sneakers sdBortQChx

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Tiger Gel Men's Kayano Hn6a00101 Trainer Shoe Asics Evo mn0OvyN8w

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Hampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6g α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vynl Prijs Urban Sneakers KopenBeslist Beach Lage QxBoWrEdeC (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Usha Dames Laarzen nl Dresscode Voor 2019 Collectie Nm8n0Ovw√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Lage Prijs Rode Sandalen KopenBeslist Unisa nl HIW9e2YbED / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Hampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6g Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Hampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6g
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Hampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6g / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Fuzetora Hardloopschoenen Slate Twist Neutraal Greyamber CBeWdxQro

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Zalando Premium Clogs Merken OnlineExclusieve Muiltjesamp; QrdhCxts1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαHampton Mens 10029 Mercier Leather Men Brown Chronograph Baume S v7byYf6g α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()