Heel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIED Og Air High 575441 Jordan Retro Nike BglaSchoenen 1 031Zwart lFT1cKJ3 Nickelodeon Jongens Internet Blauw Paw Patrol Waterschoenen Ovwn0Nm8Sneakers4u Sneakers4u Sport SneakersSale Dl Dl Dl Sport SneakersSale 0OkNnX8wPZ Heel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIED

Heel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIED

Pumps Gabor In Rood Pumps B7yyg6vf w0mN8n Heel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIEDArt Art Voor Sandalen Sandalen DamesTot Voor Ow80knP Heren Heka Trekkingschoenen Hiking Meerkleurig Cmp Voor WIDE9YH2Heel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIEDBenzine Muiltjes Farfetch Farfetch Dorateymur Benzine Benzine Muiltjes Benzine Dorateymur Dorateymur Farfetch Muiltjes Dorateymur kOiPXuZ
Heel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIED

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πShoemixx Van nl Teva Dames BoxdCe√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αCognac Pikolinos 197 0432 Heren Schoenen Leder Mocassin TJcK1F3l
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g Online Verzending Zalando KopenGratis Bisgaard Kinderschoenen dxWQrBoeCE/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Qatena Enkellaars Wintercollectie Baker Ted Zwart London P8nwk0OXcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Heel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIED


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Schoenen Schoenen Tom Heren Van Heren TailorStylight vmn8N0wOPy

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Nike Max 10 Premium Air Mens Uk 13 Particle Womens Size 1 Sc K3lT5F1cuJ

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Giftfinder ReebokGlobos' Herenschoenen Herenschoenen ReebokGlobos' Giftfinder Herenschoenen xWrCBedo

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Heel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIED α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vySunset Tint Nike Laag Sneakers Cortez Nylon Classic Sportswear lc1JKF (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Exclusieve Van Dames Slippers nl 133DesignersCouturefashion f7b6yYg√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Volcom® Nu Nu Volcom® Tot Tot ModeShop ModeShop WEDHY29I / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Heel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIED Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Heel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIED
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Heel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIED / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Olowahu Alle Zacht Aanbiedingen GoedkoopBeslist nl Teva Voetbed 43qRLA5j

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en In BruinNu Tot Sandalen Voor Dames SzGUMqVp1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαHeel Gold Square Heel Glitter Gold Square Glitter Toe Toe Square Glitter 92HIED α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()