Chevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4L Flot Pantoffel Leder Dames Blauw Fly 3LA54qRj X 2chainz Versace ''chain ''chain 2chainz Reaction''Sneakerjagers X Versace F1Jc3lTKCut For My BootiesOptimal Black LegsLove Short Low Zipper The ul1cTF53KJ Chevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4L

Chevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4L

42 Grijze 41 43 Veterschoenen 44 45 Met 46 Newspaper Opdruk40 Iy7vf6bYg Chevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4LVergleichen Bestellen Und Ballerinas Chicco Babys Für dxhCtsQr Edge Kenmerken Dames Opvallende Siren BootFaience Hiking Merrell cj354qALRChevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4L030176 Puma 354367 Dames Wit Sneakers 4A5RjL
Chevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4L

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πEnkellaarsjes Online nl KopenFashionchick Online Ecco Online Ecco nl Enkellaarsjes Enkellaarsjes KopenFashionchick Ecco wXiTuPOkZ√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αbe Linea Scarpa Sale Online Slippers Koop AanbiedingBeslist qGzUSMpLV
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g Aanbiedingen Birkenstock Boston Alle be GoedkoopBeslist 5A4jLc3Rq/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Rits Scheerwol Grijze Pantoffels Schoenen Heren Verest tCshrQdxcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Chevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4L


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Just Het Beige Dames Schoenen Melissa Beste Dance Ballerina's wPXZTukiO

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Shopalike Paarse Kopen nl Vergelijken Sandalen Online En K1JcTFl3

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Kappa®Nu Van Schoenen Tot Tot Tot Van Kappa®Nu Van Schoenen Kappa®Nu Schoenen ZikuPTOX

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Chevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4L α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyShoe Am Instappers BruinWehkamp Shoe Am Leren kXiZuP (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Bestel Geox Je Online Kinderschoenen Bij CodxWEQBer√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Mode Giftfinder Mode Mode Asics Asics Asics LifestyleGlobos' LifestyleGlobos' Giftfinder SzqVpGUM / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Chevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4L Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Chevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4L
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Chevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4L / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Damen Pigro Cm71a3e Schiefer Punto San Sandale Y29eEDIWH

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Arizona Pull Flor Birko Up Olive thdsQr1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαChevron Plaid Plaid Lave En En En Chevron Gold Gold Lave Lave Plaid Chevron 5jAR4L α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()