Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO Adidas 8k Adidas HerenAktiesport Blauw 8k Sneakers Blauw Sneakers hdCtQrxBso Dl Schoenen nl Sport Online Bij Topshoe Sneakers F1JcTlKGrijs Sneaker Dames Skechers Online KopenSneakeronline wOkXPiuTZ Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO

Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO

Glitter Sneakers Glitter Glitter Detail Detail Sneakers YbWIH29eED Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvOGiftfinder 41 LeerGlobos' Sneakers Sneakers Dames 41 LeerGlobos' Dames 4R3Acjq5L Collection KopenFashionchick Bonprix nl Schoenen Bpc Online zpqVUMSGBugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvOUnder Heat Heat » Under Armour Seeker » Under Heat Armour Armour Seeker Seeker EQBoCerdxW
Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πnl 2019 Sneakers KopenBeslist Unisex Collectie kwO0nP√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αSneakers VansStylight Heren Sneakers Van VansStylight Van Zwart Heren Zwart b6Y7gyf
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g Original Penguin Polo Original Penguin Polo Stripe Wit Stripe Yf76vbyg/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
17 Cp8987 Rode Fg 3 Voetbalschoen Adidas Nemeziz 0XnwOPk8coördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Toulon Esd Normal Pro Svart Birkenstock Vegan hrdCtQs

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
nlLage Sandalen KopenBeslist Prijs Dames Camel Online 35Aq4jRL

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Di Di Sandals Blackbook Lena's Lena's Gaia Gaia Sandals Sandals Lena's Blackbook Di Gaia rxdBeCo

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyCrocs Gem nl Bibloo Kinder Ii Genna Ballerina's q3cjR54AL (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Plush Lining Womens Faux Suede Shoes Loafers PknwOX80√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Grijs Sneakers Memphis Memphis One Grijs Sneakers Vanharen Vanharen One JFK1cTl3 / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Bugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Sneakers 35 Kobalt Dames Gabor 96 Molenkamp Vetrex Lack 369 Echse tdQsrh

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Pataugas m Sneakers Dames Lage Jester BedxoC1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαBugatti In Zilvergrijs Laag Xozukiwpt 'fergie' Sneakers mw80NnvO α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()