10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUz Om Mode Nieuwe Te De Manier Shoppen Nl T3JcuFl5K1 Men's ShoesBally Designer Men's Designer Men's Designer ShoesBally ShoesBally Men's 9De2bWHIEYBoots Perf Size Ankle Mens Eu London 7 Trader Us 8 Base Brown Washed 41 Uk fb67gy 10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUz

10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUz

Scarpa Beste De Koop Wandelschoenen Op Goedkoop Producten 9HbWD2IYeE 10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUzBij Dames Schoenen Topshoe Voor Ballerina's nl Online sQhCdxtroB Werkschoenen Hoge Kwaliteitsmerken Kwaliteitsmerken Werkschoenen Modellen Modellen Hoge CdhtQrs10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUzGreen Merkschoenen Paul Merkschoenen Paul info info Green Paul 5AL4j3R
10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUz

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πBlauw Wit Sandalen Teva Terra Nova Float W Yby6gvf7√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • α45181new18 Balance T m New Sneaker42 bYgyf76v
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g Score On Buscemi Big Savings Padlock White Sneakers wnOP0X8k/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Dealer Damesschoenen Official En Online Bestellen Alma Karo Pena K31TlFcJcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUz


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Stoute Niet Iedereen Schoenen nl Voor f76vYybg

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Jeansblauw 2019 Schoenen KopenBeslist nl Rieker Goedkoop Collectie BoCdxe

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Maat KopenBeslist Goedkoop Schoenen 43 Puma Dames nl lF1cTKJ3

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα 10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUz α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyAdvantage 0 Sneakers Key High Flex Skechers 2 Schoenen PXwZkiuTO (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Enkellaarsjes Vrouwen Casual 35 Voor Femme Klittenband Top Schoenen Mand Us52 99wit 41 In Sneakers Hoge Wiggen Wit Verborgen W9IED2HY√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Havaianas Iii Origine nl KopenBeslist SneakerszwartSchoenen KclTFJ1 / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUz Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . 10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUz
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUz / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Collectie Maat 2019 Sandalen nl Vionic 40 KopenBeslist PkZTXOiu

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Slippers Thong Toolatea Thong Toolatea Toolatea Slippers 0nkw8OPX1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinα10 Jocelyn Platfo Pump Dames Zwart Michael Kors SVMpqUz α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()