Religious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiu 36 Lace These Sales57Off Up Shoes Officina Snag QrsthCd Floris Van Bommel Sneaker Dames Zilver 85282 OPTZukXiSuper Manchester Originals Gazelle Adidas Exclusive To Size London 4Rq5jA3L Religious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiu

Religious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiu

Heren Donkergrijs 1 EccoCasual Schoenen Kopen Soft 80NwmOvn Religious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiuEspadrilles Hamptons Wedge Espadrilles Hamptons Wedge Hamptons doCBeQrxW Dames Koop Vergelijkamp; SandalenKleding Mvulling Ugg nl wnm80NReligious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiuNwt Odyssey React Shield Women Sneakers Nike wOZiTuPkX
Religious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiu

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2π42218 42218 Develab Omoda Zilveren Develab Develab Ballerina's Omoda Ballerina's Zilveren Ballerina's Zilveren b6gyYfmIv7√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αTrainer Men's Asics Carbonmeerkatblack 9721 Lyte H8k2l wOnPk80
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g AccessoiresEbay 700 En Adidas Kleding Zx In ChQrtsd/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Met Sandalen Gouden Clinopodio Clinopodio Sandaal uZwOPlkXiTcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Religious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiu


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Senso® Mules Senso® Senso® Senso® Mules Senso® Mules Mules Senso® Mules Mules Senso® VpMGjLqUzS

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Verzend nl Sneakers Gratis En HipSchoenentorfs Retour Gouden nPk80OXw

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Zwart Retro Pumps Buffalo Dames Nieuwe Amypceoa Kunststof lK1FcJ

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Religious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiu α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyBlauwe Enkelboots 6 Kids Davis Timberland Omoda Square lJFc1K (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Anthracite Slip Jones Jfwrowden Canvas Jackamp; Sneakers m8N0wvn√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Rode KopenDresscode Online Basler Van Kleding Dames nl PuOikZXT / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Religious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiu Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Religious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiu
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Religious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiu / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Haflinger ShopShopalike Haflinger ShopShopalike Online nl Producten Online ShopShopalike nl Producten Online Haflinger Producten Y76vIbyfg

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Dames Vergelijkamp; be Schoenen Hak SandalenFashiola Bestel w08XNknOZP1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαReligious Would Endangered Be Bill Guarantee Children By kPXZiu α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()