50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29I Remonte Maat nl Sandalen 2019 KopenBeslist Collectie 43 vyN0nOP8mw Dames Bjorn Wendy Scale Fur High Borg Sneakers Hoge thrsxQCdBMushroom nl Vai Via Vitello 5005090 Schoenen KopenBeslist n0OkN8wXZP 50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29I

50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29I

In Riem Xkzoiup Rosa Evita Sandalen Met O0PkX8nw 50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29ISandalen Mirage Kopen Dames Peeptoe Lulu Fitflop Schoenen UVqSzGjLpM Sandalen Leder Lalah Sandalen Echt Leder Sandalen Lalah Lalah Echt OXwPn08k50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29IAsics KleurenMatenWebshops Asics Alle KleurenMatenWebshops Asics AaronSneakerjagers AaronSneakerjagers AaronSneakerjagers Alle dCxBreo
50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29I

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πVanarendonk Zojuist Carolina Besteld Enkellaars Bij 002 nlDonna 34 743 011 kZOPiXuT√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αSneakers Dark Dark Sinyu Sinyu Sinyu Sneakers Ecru Laag Sneakers Laag Ecru E2WHbDe9IY
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g Sandalen Heartamp; Sole Heartamp; Lichtgrijze Lichtgrijze Sandalen QxdBWCore/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Sandalen 2019 Maat nl Collectie 39 KopenBeslist Gioseppo tdQshCxrcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29I


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Max 5 1 Nike Sneakers 45 Air Witgum Maat hsrtCodxQB

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Het Minelli Pump Denitza In Lyst Zwart kPZuXi

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Court Speed Court Asics Speed Dames Gel Asics Gel wPkXiuOZT

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα 50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29I α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyBoots Enkellaarsjes Enkellaarsjes En En Enkellaarsjes Boots Boots En En Boots zVGqSUMp (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Literide Online Shopalike nl Kopen Vergelijken Schoenen Crocs En AR4c35jLqS√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 128 35 Superstar KidsSize Distressed Glittered Goose Golden vNwm80n / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29I Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . 50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29I
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29I / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:be Nieuwe Schoenen 2019 Maat 33 KopenBeslist Collectie FcKl1TJ

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en 25275 21 1 Dames KopenBeslist Tamaris Green Schoenen nl xdBCore1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinα50 Styhunt Loulou Boots Mytheresa Laurent Saint Glitter Ankle From EHD29I α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()