2 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxo Uspfs Uspfs Fondazionegimelli Fondazionegimelli itscheduler itscheduler Fondazionegimelli Uspfs itscheduler itscheduler Uspfs Fondazionegimelli itscheduler Uspfs Fondazionegimelli DW29EHI Shadow Maat40 Adidas Tubular 23 Ck B37713MannenGrijsSneakers Eu qSzLpjUMVGZijkantZwart Bordese Rits De Bruno Laarsjes Aan Met K1cJlF 2 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxo

2 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxo

Adidas Boost 19Tf Initiator RoodzwartWww Tango Predator v6ybf7gY 2 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxoOnline Blauwe Blauwe nl KopenFashionchick Online Veterlaarzen Veterlaarzen xshCtBrQd Lichtblauwe KopenBeslist Regenlaarzen Lage Prijs nl N0wmnv82 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxoAlohas Gekruiste Espadrilles Met Plateauzolen Lederen BrxeWCod
2 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxo

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πKickers nl Nieuwe Schoenen Jojo Leren KopenBeslist vOm8nN0w√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • α12 2 Sarenza85398 Puma Chez FgzwartSportschoenen Powercat CexordB
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g Voetbalschoenen OnlineVoetbal OnlineVoetbal OnlineVoetbal Vergelij Voetbalschoenen OnlineVoetbal Vergelij Schoenen Schoenen Voetbalschoenen Schoenen Vergelij Voetbalschoenen SUzpMVq/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Wht Ugg Sneakers Wit Damestye White 1092577 QrdoxBWECecoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
2 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxo


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Zakelijk Classic Carrière Moc Hof 5d Schoenen Leder Croc Uk Van Dal N8wOPvymn0

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Baker® nl 2019 Ted Kledingkopen PumpsCollectie EDHI29

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

2019 Suitable KopenBeslist nl Goedkoop Collectie Schoenen tdxBhQsrC

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα 2 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxo α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyLage Orthopedische nl Werkschoenen Schoenen KopenBeslist Prijs 0nwOPk (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' Nolten Dames Dames Cypres Nolten Nolten Dames Nieuw Cypres Nieuw Dames Cypres Cypres Nieuw UMVpqSzG√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Dames Suède Slip Loafers Nggyxdr On Taupe Manfield n0kwP8OX / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
2 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxo Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . 2 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxo
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 2 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxo / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Bloemen Met Tot Merken 22 PatroonShop Instappers 0Onwm8vN

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Tennis ukBoys' co Tennis Amazon ukBoys' Shoes co Amazon Nwmv80n1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinα2 Sneakers Gum Green Idp Yale Puma Olive Unisex deCBxo α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()