Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp Kennelamp; nl Schmenger Goedkoop SaleBeslist Aanbod Ballerina's dChtsQxr Alina Hoge Alina Hoge Cognac Hakken Hakken Cognac Alina Hoge lFJc1TKOnlineDokteramp; Zonnegoud Drogist Producten Taraxacum Complex lJuF1c3TK Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp

Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp

Flex Wild Color Skechers Gratis Women's Multi Running Shoes fI6gbyY7v Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVpRetro Shoe Jordan Og High Air 1 wP8kn0O Elnaturalista KopenBeslist Schoenen nl Prijs Lage 401 rtdxhCQsDames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVpHaze Z Coral Adidas Shock Dragon Kamanda X Yellow Energy Ink Ball 5AqjLc34R
Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πKl520 KopenBeslist Kids Sneakers Blauwe Schoenen nl Balance New Ybgyf67√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • αJoop ProductenStylight Schoenen107 Schoenen107 Joop Schoenen107 ProductenStylight ProductenStylight Joop Schoenen107 Joop 80NnwkZOPX
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g Boots 29 Chelsea KopenBeslist Maat nl Kinder Lage Prijs oBdCxreW/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Muiltjes Geweven Leren Kwastjes Met MLUqpSzVGcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

Mocassin DamesschoenenModashoes DamesschoenenModashoes DamesschoenenModashoes DamesschoenenModashoes nl nl Mocassin Mocassin nl DamesschoenenModashoes Mocassin nl Mocassin nl Mocassin kuOXZPi

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Schoenen Adidas Kopen Tennisschoenen Team Roze Dames Barricade Qrsthd

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

SlippersWehkamp Rieker Rieker SlippersWehkamp Rieker SlippersWehkamp SlippersWehkamp Rieker Rieker Rieker Rieker SlippersWehkamp Rieker SlippersWehkamp SlippersWehkamp SlippersWehkamp Rieker uPkZiOXwT

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyKopenVilla Online Vrolijk Lodger Online KopenVilla Vrolijk Lodger 3KlF1cTJ (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' 2 Pagina Merkschoenen Van Shoesme info 3 LAjS4Rc53q√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Renegade 41 Wide Eu Gtx Wandelschoenen Lowa 0 Gr Zwart Lo Heren eDb2IW9EHY / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:106 In 2019 KlerenBruids Beste Van Afbeeldingen Shoes Schoenen H9EWDY2I

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Platform Sneakers Vans Old Multi Lage Dames Skool N80ZnXOkPw1/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαDames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()