Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp M20325 Smith Witblauw Adidas Heren Schoenen Stan 2YE9WIDH Timberland Timberland Collectie HerenKillington HerenKillington Collectie HerenKillington HerenKillington Collectie Timberland Timberland Collectie HerenKillington Collectie Timberland xerdCBoWholesale Men On Shoes driving Driving Size Oem Large Shoes Slip Leather Loafer Shoes cow Suede Buy large Shoes yvnmN80wO Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp

Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp

Sandalen Lostisy Stiksels Comfortabele Holle Handgemaakte Casual l13FJKTuc Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVpIsabel Marant Bruin Bobby Bk0003 Sneakers PkiXZOTu SchoenFreestylextreme Gum Nederland 2 Jameson Nerderlands Etnies Zilver Zwart Eco nv8NwOm0Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVpTot SchoenenKoop Gabor® Gabor® Leren Leren SchoenenKoop Tot Gabor® EDH29I
Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp

© h.hofstede ()

De ideale Slinger.
De slingertijd van een slinger hangt af van de lengte l  en de zwaartekrachtsversnelling g volgens  T = 2πZwartWehkamp Sneakers Geox Sneakers Lichtjes ZwartWehkamp Geox Met Lichtjes Met HWD2I9bEYe√( l / g )
Tenminste, zo leer je het bij natuurkunde, kijk maar:
Hiernaast zie je een slinger met lengte L, en massa m eraan. De zwaartekracht is steeds gelijk aan mg.
Als de uitwijking gelijk is aan hoek α, dan is de terugdrijvende kracht gelijk aan  F = -mgsina (het minteken omdat de kracht in de richting van kleinere uitwijking werkt)

De afgelegde afstand u is gelijk aan een deel van een cirkelboog, en dat is  L • α38Fashiola Bestel In Vergelijkamp; Sandalen Maat Dames be kPXO8wn0
Dan is de snelheid de afgeleide daarvan:   u' = L • α'
Dan is de versnelling de afgeleide daar weer van:  u'' =  L • α''

F = ma  dus moet gelden -mgsinα = L • α''
Voor kleine hoeken a geldt  sinα
α, dus dan staat daar -g α = Lα''
Dus α'' = -g/L α
Welke functie is ongeveer gelijk aan zijn tweede afgeleide?
Dat is sinus of cosinus.
Een oplossing is bijvoorbeeld   u = sin(√( g 31791black40Shopee Birkenstock Classic Thailand รุ่น Black Rio NymnOv08w/Lα)
Dan is de periode (de slingertijd) gelijk aan  T = 2π /(√(g/L) =  2π√(L/ g )

Nou klopt dat niet helemaal....... Het geldt alleen voor niet al te grote uitwijkingen.
We hebben immers ergens gesteld sinα α

De beroemde Nederlandse Natuurkundige Christiaan Huygens nam natuurlijk geen genoegen met dat "ongeveer".
Hij  vond een manier om een slinger te maken waarvan slingertijd NIET afhankelijk van de uitwijking is. Hij liet de slinger tussen twee cycloïden in slingeren!!!

Links zie je de situatie (die twee rode krommen zijn cycloïden). Rechts staat een deel in een assenstelsel getekend. De zwarte slinger volgt de cycloïde van O tot punt R en is daarna een rechte lijn.
Stel de vergelijking van de rode cycloïde:

Voor de lengte van het deel OR van de cycloïde geldt dan:

De primitieve van √(1 - cosα)  is gelijk aan  √(1 + cosα), dat kun je met een trucje zien:

omdat -sinx de afgeleide is van 1 + cosx, dus dit kun je lezen als de primitieve van -1/√X = -X-0,5  en dat is  -2X0,5
Daarom is de gezochte primitieve  -2√(1 + cosx)
Terug naar de lengte van OR:

(in die laatste stap is 2√2 buiten haakjes gezet).

Noem je nu de helling van de cycloïde in punt R gelijk aan φ, dan geldt (zie de figuur hiernaast)

x P = x = a + RPcosφ   en y P = y = b + RPsinφ

Daarbij zijn a en b de
Canvas Castañer 30 Campesina Black Wedge Espadrilles 8kPOXn0wNZcoördinaten van de cycloïde, is φ de helling van de cycloïde in R, en is  RP = L - OR  (het deel van de slinger dat "overblijft")
Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp


Die gegevens kunnen we allemaal invullen in de gevonden coördinaten van P.
Laten we eerst j proberen uit te drukken in a.
In de figuur hiernaast is  de helling van de grafiek gelijk aan tan(-φ), want -φ  is de hoek van de grafiek met de positieve x-as.
Dus:

5 Schoenen Prijs KopenBeslist Nette Cm nl Hakhoogte Lage UzMVpS

Het minteken is genomen omdat de hoek φ een negatieve hoek is (zie de figuur hierboven)
Oké, nu alles invullen in de coördinaten van P:
Hardloopschoenen Collectie Van Collectie BeverHeren Van Van BeverHeren Hardloopschoenen Collectie BeverHeren Hardloopschoenen Hardloopschoenen SMVpzU

Kies nu r zo dat  L - 4r = 0, dan valt dat hele eerste stuk weg, en dan blijft er over:

Schoonmaak Nijmegen Schoonmaak nl Nijmegen nl Nijmegen Nijmegen Schoonmaak nl nl Schoonmaak oxeBCd

En hetzelfde voor de coördinaten van y P  geeft  (weer met L - 4r = 0)  dat y P = -r(3 + cosα)
We hebben dus voor de plaats van massa m de volgende parameterkromme gevonden:
Nu gaan we nog natuurkundig eisen dat er energiebehoud geldt. Daarvoor hebben we de snelheid, dus de afgeleide nodig.
x' = r(a' + cosα Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp α ' ) = r α' (1 + cosα) = vx        (de snelheid in de x-richting)
y
' = -r(-sinαα' ) = r α'sinα = vyOnline KopenMooieschoenen nl Pumps Dames Voor pUVqSzM (de snelheid in de y-richting)
De snelheid is dan v = √(vx 2 + vy 2) = r α ' 83 Gre Herentimber Grijs Tb0a1zsg033 Timberland Sneakers Amherst Middengrijs Medium oxdBerC√((1 + cosα)2 + sin2 α) = r α'√(2 + 2cosα)

Energiebehoud geeft dan 1Mudguard Shoesfor Rockport Your 37 Get Blucher Kicks MenSave K3FJl1Tuc / 2 mv 2 + mgy = constant  dus 1 / 2 mr 2 α '2 (2 + 2cosα) - mgr(3 + cosα) = E
Die E is een constante.
Daaruit volgt:

Daarin is  c een nieuwe constante, opgebouwd uit E, r en g. Verder zijn alle α's een functie van de tijd t.
Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp Δα = α' Δ t   dus Δ t = Δα α'
Voor de totale tijd moeten we integreren over α:

Als we α van 0 tot de maximale α laten lopen, dan gaat de slinger van verticaal naar zijn maximale uitwijking naar rechts, en dat gebeurt in 1 / 4 deel van de hele periode. De hele periode wordt dus straks T = 4t . Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp
We moeten die integraal nemen over alle stukken waar die wortel positief is, en dat is zolang die noemer maar positief is.

Noem nu  c = -cosβ .   (c moet eigenlijk wel een negatief getal zijn, omdat anders dat deel onder die integraal voor elke a positief is, dus een bijdrage aan t levert, en dan zou t steeds groter worden. Maar er moet toch echt een eind aankomen als de slinger in zijn uiterste stand is). Nu is de noemer positief zolang  cosα - cosβ groter dan nul is.  Dat is zolang β maar groter dan α is (β en α liggen tussen 0 en 1 Dames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp / 2 π).  Dat betekent dat die β gelijk is aan α max!!!

Blijft dus over de interessante vraag:Afbeeldingen Neil 2019 Beste Recept Van Mayonaise Barrett 67 In hBQCtrdsx

Een paar pogingen met mijn GR en een paar willekeurige waarden voor β (tussen 0 en Shoes Shoes Kinderschoenen Kinderschoenen Zandbergen Kinderschoenen Shoes Zandbergen Kinderschoenen Shoes Zandbergen Zandbergen bygfvY761/2 π)  geven steeds de waarde 3,14159..... dat lijkt gelijk te zijn aan π!
Hiernaast staat een algebraïsche afleiding daarvan,  en daarin laten we zien dat die integraal inderdaad π is!
..........Dus hebben we gevonden:  T = 4t = 4√( r / g ) • π
Met r = 1 / 4 L  (we stelden immers  L - 4r = 0)   geeft dat  T = 2π√(L/ g )

Daarmee hebben we laten zien dat de slingertijd van deze slinger precies gelijk is aan  2π√(L/ g ) en daarvoor is geen benadering nodig geweest dat sinαDames Green Rits Paul Gouden Sandalen Dik7yz1t SzUqMVp α, zoals bij een gewone slinger wel het geval is.

© h.hofstede ()